Diferencia entre progresión aritmética y progresión geométrica
Tema: ciencia.
La progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad constante, la diferencia; la progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante, la razón.
Esa diferencia de operación hace que la aritmética crezca de forma lineal y la geométrica, cuando la razón es mayor que 1, de forma mucho más rápida, exponencial.
Tabla comparativa: progresión aritmética y progresión geométrica
| Progresión aritmética | Progresión geométrica | |
|---|---|---|
| Cómo se obtiene el siguiente término | Sumando la diferencia (d) al término anterior. | Multiplicando por la razón (r) el término anterior. |
| Término general | an = a1 + (n − 1)·d | an = a1 · r(n − 1) |
| Suma de los n primeros términos | Sn = n·(a1 + an) / 2 | Sn = a1·(rn − 1) / (r − 1), con r distinto de 1 |
| Tipo de crecimiento | Lineal: aumenta o disminuye siempre la misma cantidad. | Exponencial: el aumento se acelera o se frena según la razón. |
| Ejemplo | 2, 5, 8, 11, 14… (d = 3) | 3, 6, 12, 24, 48… (r = 2) |
Qué es la progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que la diferencia entre cada término y el anterior es siempre la misma, llamada diferencia común (d). Si el primer término es a1, el término que ocupa la posición n se calcula con la fórmula an = a1 + (n − 1)·d. Por ejemplo, si a1 = 2 y d = 3, la progresión es 2, 5, 8, 11, 14…, y el quinto término es a5 = 2 + 4·3 = 14. La suma de los n primeros términos se calcula como Sn = n·(a1 + an) / 2; para los cinco primeros términos del ejemplo, S5 = 5·(2 + 14) / 2 = 40.
Cuando d es positiva, la progresión crece; cuando es negativa, decrece; si d = 0, todos los términos son iguales. El crecimiento o decrecimiento es siempre constante en cada paso, lo que hace que la representación gráfica de sus términos forme una línea recta.
Qué es la progresión geométrica
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que el cociente entre cada término y el anterior es siempre el mismo, llamado razón (r). El término que ocupa la posición n se calcula con la fórmula an = a1 · r(n − 1). Por ejemplo, si a1 = 3 y r = 2, la progresión es 3, 6, 12, 24, 48…, y el quinto término es a5 = 3 · 24 = 48. La suma de los n primeros términos, cuando r es distinto de 1, se calcula como Sn = a1·(rn − 1) / (r − 1); para los cinco primeros términos del ejemplo, S5 = 3·(32 − 1) / 1 = 93.
Cuando r es mayor que 1, la progresión crece cada vez más rápido; cuando r está entre 0 y 1, decrece acercándose a cero; cuando r es negativa, los términos alternan de signo. Este tipo de crecimiento, muy distinto del lineal de la progresión aritmética, es el que se usa para modelar fenómenos como el interés compuesto o la reproducción de una población en condiciones ideales.
Ejemplos que muestran la diferencia
Un ahorro que aumenta 50 euros cada mes sigue una progresión aritmética, porque la cantidad que se añade es siempre la misma.
Un capital que se duplica cada año sigue una progresión geométrica de razón 2, y crece mucho más rápido a largo plazo que si sumara siempre la misma cantidad fija.
La sucesión 100, 90, 80, 70… es aritmética, con d = −10; la sucesión 100, 50, 25, 12,5… es geométrica, con r = 0,5.
Cuándo usar cada término
- Usa progresión aritmética cuando la diferencia entre términos consecutivos sea siempre la misma cantidad, sumada o restada.
- Usa progresión geométrica cuando el cociente entre términos consecutivos sea siempre el mismo número, es decir, cuando cada término se obtenga multiplicando por una razón fija.
- Para distinguirlas rápido en un ejercicio, resta dos términos consecutivos: si el resultado es siempre el mismo, es aritmética; si en vez de eso el cociente entre ellos es constante, es geométrica.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la razón de una progresión geométrica?
Dividiendo cualquier término entre el término inmediatamente anterior: r = an / an−1. Ese cociente debe dar el mismo resultado para cualquier par de términos consecutivos de la sucesión.
¿Puede una progresión ser aritmética y geométrica a la vez?
Solo en el caso trivial de una sucesión constante, donde todos los términos son iguales: ahí la diferencia entre términos es 0 y la razón es 1, así que cumple las dos definiciones a la vez. Fuera de ese caso, una progresión no puede ser de los dos tipos.
¿Para qué sirve la fórmula de la suma de una progresión?
Permite calcular el total de sumar muchos términos sin tener que escribirlos todos uno por uno. Se usa, por ejemplo, para calcular ahorros acumulados en progresiones aritméticas o el capital final en progresiones geométricas de interés compuesto.