Significado de Logaritmo
Sustantivo masculino. Del griego logos, «razón» o «proporción», y arithmós, «número», a través del latín científico logarithmus.
El logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al que hay que elevar esa base para obtener dicho número; log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8.
Es la operación inversa de la potenciación, y las más usadas son el logaritmo decimal, de base 10, y el logaritmo natural, de base e.
Qué es un logaritmo
Formalmente, log_b(x) = y equivale a decir que b elevado a y es igual a x, siempre que la base b sea positiva y distinta de 1, y que x sea positivo. La potenciación responde a la pregunta «¿cuánto vale b elevado a y?»; el logaritmo responde a la pregunta contraria: «¿a qué exponente hay que elevar b para obtener x?». Por eso se dice que ambas operaciones son inversas entre sí.
Cualquier número positivo puede servir de base, salvo el 1, pero en la práctica se usan sobre todo tres: el logaritmo decimal o común, de base 10, que se escribe simplemente log(x); el logaritmo natural, de base e, el número irracional aproximadamente igual a 2,71828, que se escribe ln(x); y, en informática, el logaritmo en base 2.
Los logaritmos convierten multiplicaciones en sumas y potencias en productos, una propiedad que antes de existir las calculadoras hacía mucho más rápidos los cálculos con números muy grandes o muy pequeños. Hoy se usan para resolver ecuaciones donde la incógnita aparece como exponente, y para representar en una escala manejable magnitudes que varían en proporciones enormes, como la intensidad del sonido o la concentración de iones en una disolución.
El logaritmo lo estudian el álgebra y el análisis matemático, y su uso es constante en la física, la química, la informática y las finanzas.
Origen de la palabra logaritmo
Del griego logos, «razón» o «proporción», y arithmós, «número», combinados en el latín científico logarithmus, «número de la razón», acuñado para nombrar una operación pensada originalmente para comparar razones entre progresiones de números.
El matemático escocés John Napier, también conocido como Neper, presentó los logaritmos en 1614 en su obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, donde publicó las primeras tablas que permitían sustituir multiplicaciones y divisiones complejas por sumas y restas mucho más simples.
Propiedades de los logaritmos
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Logaritmo de un producto | log_b(x·y) = log_b(x) + log_b(y) | log₁₀(100·1000) = 2 + 3 = 5 |
| Logaritmo de un cociente | log_b(x/y) = log_b(x) − log_b(y) | log₂(16/4) = 4 − 2 = 2 |
| Logaritmo de una potencia | log_b(xⁿ) = n · log_b(x) | log₂(4³) = 3 · 2 = 6 |
| Logaritmo de la base | log_b(b) = 1 | log₅5 = 1 |
| Logaritmo de 1 | log_b(1) = 0 | log₇1 = 0 |
Ejemplos de uso de logaritmo
El logaritmo en base 2 de 8 es 3, porque 2 elevado a 3 da 8: log₂8 = 3.
El logaritmo decimal de 1000 es 3, porque 10 elevado a 3 da 1000: log₁₀1000 = 3.
Los logaritmos permiten calcular cuántos años tarda un capital en duplicarse a un interés fijo, despejando el tiempo de una ecuación exponencial.
La escala de decibelios, usada para medir la intensidad del sonido, está construida sobre una escala logarítmica.
En informática, los logaritmos en base 2 permiten calcular cuántas veces se puede dividir a la mitad un conjunto de datos.
Sinónimos y palabras relacionadas
Sinónimos: no tiene sinónimos exactos, por nombrar una operación matemática precisa.
Antónimos: no tiene un antónimo propiamente dicho, aunque su operación inversa es la potenciación.
No es lo mismo que:
- Exponente: el exponente es el número al que se eleva una base en una potencia; el logaritmo es la operación que permite calcular ese exponente a partir del resultado.
- Potenciación: es la operación que multiplica una base por sí misma varias veces; el logaritmo es su operación inversa.
- Raíz: también es una operación inversa de la potenciación, pero calcula la base a partir del exponente y el resultado, no el exponente.
Preguntas frecuentes sobre logaritmo
¿Qué es el logaritmo natural?
Es el logaritmo cuya base es el número e, aproximadamente 2,71828, y se representa como ln(x). Aparece con frecuencia en fenómenos de crecimiento y decrecimiento continuo, como el interés compuesto o la desintegración radiactiva.
¿Cómo se calcula un logaritmo?
Se busca el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número dado; por ejemplo, log₃9 = 2, porque 3² = 9. Para bases distintas de 10 o de e, suele recurrirse a una calculadora o a la fórmula de cambio de base.
¿Para qué sirven los logaritmos?
Sirven para resolver ecuaciones en las que la incógnita es un exponente, y se usan en campos como la acústica, la química, la informática y las finanzas, siempre que una magnitud varíe en proporciones muy amplias.