Diferencia entre derivada e integral
Tema: ciencia.
La derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función en un punto; la integral acumula esa cantidad para hallar un área o un total.
Son operaciones inversas entre sí, como señala el teorema fundamental del cálculo: integrar deshace lo que deriva, y derivar deshace lo que integra.
Tabla comparativa: derivada e integral
| Derivada | Integral | |
|---|---|---|
| Qué mide | La rapidez de cambio de una función en un punto concreto. | La acumulación de una cantidad a lo largo de un intervalo. |
| Interpretación geométrica | La pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. | El área bajo la curva entre dos valores del eje x. |
| Notación habitual | f'(x) o dy/dx | ∫f(x) dx |
| Resultado | Otra función (o un número, si se evalúa en un punto). | Una función (integral indefinida) o un número (integral definida). |
| Ejemplo con f(x) = x² | f'(x) = 2x; en x = 3, vale 6. | ∫x² dx entre 0 y 3 vale 9. |
Qué es la derivada
La derivada de una función en un punto mide cuánto y con qué rapidez cambia el valor de esa función cuando la variable independiente cambia una cantidad muy pequeña. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto: si la derivada es grande, la función crece o decrece muy deprisa; si es cero, la función ni crece ni decrece en ese instante.
Un ejemplo sencillo: si f(x) = x², su derivada es f'(x) = 2x, según la regla de la potencia. En x = 3, la derivada vale 2×3 = 6, lo que significa que en ese punto la función crece a razón de 6 unidades por cada unidad que aumenta x. En física, la derivada de la posición respecto al tiempo da la velocidad, y la derivada de la velocidad respecto al tiempo da la aceleración.
Qué es la integral
La integral hace, en cierto sentido, lo contrario que la derivada: en vez de medir un cambio instantáneo, acumula una cantidad a lo largo de un intervalo. La integral definida de una función entre dos valores equivale, geométricamente, al área comprendida entre la curva de esa función y el eje horizontal, en ese tramo.
Siguiendo con f(x) = x², su integral indefinida es x³/3 + C, donde C es una constante. La integral definida entre 0 y 3 se calcula evaluando esa expresión en los dos extremos y restando: 3³/3 − 0³/3 = 27/3 = 9. Ese 9 representa el área bajo la parábola y = x² entre x = 0 y x = 3. En física, integrar la velocidad respecto al tiempo permite calcular la distancia recorrida.
Ejemplos que muestran la diferencia
Si la posición de un objeto es s(t) = t² metros, su derivada da la velocidad, v(t) = 2t; en t = 3 segundos, la velocidad es 6 metros por segundo.
La integral de esa misma velocidad, v(t) = 2t, entre 0 y 3 segundos, es 9 metros: la distancia recorrida en ese tiempo, coherente con s(3) = 3² = 9.
La pendiente de la curva y = x² en el punto x = 3 (su derivada, 6) es un número distinto del área bajo esa misma curva entre 0 y 3 (su integral, 9), aunque ambas se calculan a partir de la misma función.
Cuándo usar cada término
- Usa derivada cuando la pregunta sea sobre la rapidez de cambio de algo en un instante concreto: una velocidad, una pendiente, una tasa de crecimiento.
- Usa integral cuando la pregunta sea sobre una cantidad acumulada a lo largo de un intervalo: un área, una distancia total, una probabilidad continua.
- Si necesitas deshacer una derivada para recuperar la función original, esa operación es una integral (o antiderivada); el teorema fundamental del cálculo conecta ambas operaciones.
Preguntas frecuentes
¿Qué relación hay entre la derivada y la integral?
Son operaciones inversas: el teorema fundamental del cálculo establece que integrar la derivada de una función devuelve esa función (salvo una constante), y derivar la integral de una función devuelve la función original.
¿Para qué sirve la derivada en la práctica?
Para calcular tasas de cambio instantáneas: la velocidad a partir de la posición, la aceleración a partir de la velocidad, o cómo varía un coste, una población o una temperatura en un momento concreto.
¿Para qué sirve la integral en la práctica?
Para calcular cantidades acumuladas: el área bajo una curva, la distancia recorrida a partir de la velocidad, el trabajo realizado por una fuerza variable o la probabilidad en distribuciones continuas.