Significado de Sistema de ecuaciones
Sustantivo masculino compuesto. De «sistema», del griego sýstēma, y «ecuaciones», plural de «ecuación», del latín aequatio.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten las mismas incógnitas, y cuya solución es el conjunto de valores que las satisface a todas a la vez.
Puede tener una única solución, ninguna o infinitas, según cómo se relacionen las ecuaciones entre sí, y se resuelve con distintos métodos algebraicos o gráficos.
Qué es un sistema de ecuaciones
Una sola ecuación con dos incógnitas, como x + y = 10, tiene infinitos pares de valores que la cumplen. Al añadir una segunda ecuación con las mismas incógnitas, como x - y = 2, se impone una condición adicional que reduce las soluciones posibles. Resolver el sistema significa encontrar los valores de x y de y que cumplen ambas ecuaciones a la vez, no solo una de ellas.
Gráficamente, cada ecuación con dos incógnitas representa una recta o una curva en un plano, y la solución del sistema corresponde al punto o los puntos donde esas representaciones se cruzan. Por eso un sistema con dos ecuaciones lineales puede tener tres situaciones posibles: una única solución, si las rectas se cortan en un punto; ninguna solución, si son paralelas y no se cortan nunca; o infinitas soluciones, si ambas ecuaciones representan la misma recta.
Un sistema de ecuaciones no es lo mismo que una ecuación aislada: mientras que una ecuación puede tener muchas soluciones posibles por sí sola, el sistema añade condiciones que la restringen al exigir que se cumplan varias ecuaciones de forma simultánea.
Lo estudia el álgebra, dentro de las matemáticas, y sus métodos se aplican en física, economía e ingeniería siempre que hay que encontrar valores que satisfagan varias condiciones a la vez.
Origen de la palabra sistema de ecuaciones
«Sistema» procede del griego sýstēma, «conjunto organizado de partes», formado por syn-, «junto», y hístēmi, «colocar» o «establecer». «Ecuación» viene del latín aequatio, «igualación», derivado de aequare, «igualar» o «hacer igual».
La idea de resolver varias condiciones simultáneas es muy antigua y aparece ya en textos matemáticos de distintas culturas de la Antigüedad. La notación algebraica moderna, con letras para las incógnitas y símbolos fijos para las operaciones, se desarrolló sobre todo entre los siglos XVI y XVII, y fue la que permitió expresar y resolver sistemas de ecuaciones de forma sistemática, tal como se enseñan hoy.
Métodos para resolver un sistema de ecuaciones
| Método | En qué consiste |
|---|---|
| Sustitución | Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye esa expresión en la otra. |
| Igualación | Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las dos expresiones resultantes. |
| Reducción | Se multiplican las ecuaciones por números convenientes y se suman o restan para eliminar una incógnita. |
| Método gráfico | Se representan las ecuaciones en un plano y se busca el punto donde se cruzan sus gráficas. |
Para sistemas con tres o más incógnitas, estos métodos se generalizan mediante técnicas de álgebra lineal, como la eliminación de Gauss o el uso de matrices.
Ejemplos de uso de sistema de ecuaciones
Para hallar el precio de dos productos a partir de dos compras distintas, se plantea un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.
El sistema de ecuaciones x + y = 10, x - y = 2 tiene una única solución: x = 6, y = 4.
Cuando las dos ecuaciones de un sistema representan la misma recta, el sistema tiene infinitas soluciones.
El profesor resolvió el sistema de ecuaciones por el método de reducción, eliminando primero la incógnita y.
Un sistema de ecuaciones sin ninguna solución se llama incompatible, y se representa con dos rectas paralelas que nunca se cortan.
Sinónimos y palabras relacionadas
Sinónimos: sistema de ecuaciones lineales, cuando todas las ecuaciones que lo forman son de primer grado.
Antónimos: no tiene antónimo propio, por ser un término matemático descriptivo.
No es lo mismo que:
- Ecuación: es una sola igualdad con una o varias incógnitas; el sistema es un conjunto de varias ecuaciones que deben cumplirse a la vez.
- Función matemática: asocia cada valor de entrada con un único valor de salida; un sistema de ecuaciones busca los valores que cumplen varias igualdades simultáneas, no una relación entre variables.
- Polinomio: es una expresión algebraica formada por la suma de términos; puede aparecer dentro de una ecuación, pero por sí solo no plantea ninguna igualdad que resolver.
Preguntas frecuentes sobre sistema de ecuaciones
¿Qué significa que un sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones?
Significa que las ecuaciones del sistema, aunque estén escritas de forma distinta, representan en realidad la misma relación entre las incógnitas. Gráficamente corresponde a dos rectas superpuestas: cualquier punto de una de ellas cumple también la otra ecuación, por lo que hay infinitos pares de valores válidos.
¿Cuál es la diferencia entre el método de sustitución y el de reducción?
En la sustitución se despeja una incógnita en una ecuación y se reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una sola ecuación con una incógnita. En la reducción se ajustan los coeficientes de las ecuaciones y se suman o restan entre sí para que una de las incógnitas se cancele directamente.
¿Un sistema de ecuaciones puede tener más de dos incógnitas?
Sí. Un sistema puede tener tres, cuatro o más incógnitas, siempre que haya al menos tantas ecuaciones independientes como incógnitas para poder determinar una solución única. En esos casos se suelen usar métodos de álgebra lineal, como matrices, en lugar de la sustitución o la reducción manuales.